Obliczanie pól powierzchni obrotowych

Twierdzenie 1: o polu powierzchni obrotowej powstałej przez obrót wykresu funkcji jednej zmiennej wokół osi $ OX $

Niech krzywa $ \Gamma $ będzie wykresem nieujemnej funkcji ciągłej $ f:[a,b] \to \mathbb{R} $. Pole $ S $ powierzchni obrotowej bryły powstałej
z obrotu krzywej $ \Gamma $ wokół osi $ OX $ wyraża się wzorem

$ S = 2\pi \int\limits_{a}^{b} f(x) \sqrt{1 + (f^\prime(x))^2}dx. $

Rysunek 1: Powierzchnia obrotowa, której pole obliczamy

Przykład 1:

Obliczyć pole $ S $ powierzchni obrotowej powstałej przez obrót łuku sinusoidy $ y = \sin x $, gdzie $ x\in[0, \pi] $, wokół osi $ OX $.

$Powierzchnia obrotowa powstała przez obrót łuku sinusoidy wokół osi $OX$$

Rysunek 2: Powierzchnia obrotowa powstała przez obrót łuku sinusoidy wokół osi $OX$

Ponieważ dana funkcja spełnia wszystkie założenia , to $ S $ wyraża się nastepująco:

$ S = 2\pi \int\limits_{0}^{\pi} \sin x \sqrt{1 + (\cos x)^2}\,dx. $

W celu obliczenia tej całki wprowadzimy nową zmienną $ t = \cos x $. Wtedy $ dt = -\sin x \, dx $, a ponieważ funkcja cosinus jest malejąca na przedziale $ [0, \pi] $, więc parametr $ t $ zmienia się od $ 1 $ do $ -1 $. W rezultacie

$ S = -2\pi \int\limits_{1}^{-1} \sqrt{1 + t^2} dt = 2\pi \int\limits_{-1}^{1} \sqrt{1 + t^2} dt. $

Obliczymy teraz całkę nieoznaczoną $ \int \sqrt{1 + t^2} \, dt = \int \frac{1 + t^2}{\sqrt{1 + t^2}}\, dt $, stosując wzór na całkowanie funkcji niewymiernych:

$ \int \frac{1 + t^2}{\sqrt{1 + t^2}}\, dt = (at + b)\sqrt{1 + t^2} + k \int \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}\, dt. $

Różniczkując obie strony równania, otrzymujemy

$ \frac{1 + t^2}{\sqrt{1 + t^2}} = a\sqrt{1 + t^2} + (at + b)\frac{t}{\sqrt{1 + t^2}} + k\frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}, $

a po pomnożeniu obu stron równania przez $ \sqrt{1 + t^2} $ dostajemy równanie wielomianowe

$ 1 + t^2 = a(1 + t^2) + (at + b)t + k, $

którego rozwiązaniem są liczby $ a = \frac{1}{2} $, $ b = 0 $ i $ k = \frac{1}{2} $. W konsekwencji

$ \int \sqrt{1 + t^2}\, dt = \frac{1}{2} t \sqrt{1 + t^2} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}\, dt = \frac{1}{2} t \sqrt{1 + t^2} + \frac{1}{2} \ln \big|t + \sqrt{1 + t^2}\big| + C, \quad C \in \mathbb{R}, $

oraz

$ S = \bigg(\frac{1}{2} t \sqrt{1 + t^2} + \frac{1}{2} \ln \Big|t + \sqrt{1 + t^2}\big|\bigg)\Big|_{-1}^1 = \frac{1}{2} \sqrt{2} + \frac{1}{2} \ln \big|1 + \sqrt{2}\big| - \frac{1}{2} \sqrt{2} - \frac{1}{2} \ln \big|-1 + \sqrt{2}\big|, $

więc szukane pole jest równe $ S = \frac{1}{2} \ln \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}. $

Zadajmy krzywą $ \Gamma $ w postaci parametrycznej $ x=\varphi(t) $, $ y=\psi(t) $, $ t \in [\alpha, \beta ] $, przy czym załóżmy, że funkcje $ \varphi $ i $ \psi $ mają ciągłe pochodne. Przyjmijmy dodatkowo, że funkcja $ \varphi^{\prime} $ jest stałego znaku, a funkcja $ \psi $ jest nieujemna. Wówczas zachodzi następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2: o polu powierzchni obrotowej powstałej przez obrót krzywej zadanej parametrycznie

Pole $ S $ powierzchni obrotowej bryły powstałej z obrotu łuku krzywej $ \Gamma $ wokół osi $ OX $, gdzie $ t \in [\alpha, \beta] $ wyraża się wzorem

$ S = 2\pi \int\limits_{\alpha}^{\beta} \psi(t)\sqrt{(\varphi^{\prime}(t))^2 + (\psi^{\prime}(t))^2}dt. $

Przykład 2:

Obliczyć pole powierzchni bryły powstałej przez obrót części asteroidy o równaniach

$ x = \varphi(t) = \cos^3 t, \quad y = \psi(t) = \sin^3 t, \quad t \in [0, \pi], $

wokół osi $ OX $. Funkcje $ \varphi $ i $ \psi $ spełniają założenia twierdzenia 2 oraz

$ \varphi^{\prime}(t) = -3\cos^2 t \sin t, \quad \psi^{\prime}(t) = 3\sin^2 t \cos t, \quad t \in [0, \pi]. $

Ponieważ łuk asteroidy jest symetryczny względem osi $ OY $, więc szukane pole wyraża się wzorem

$ \begin{aligned} S &= 4\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 t\sqrt{(-3\cos^2 t \sin t)^2 + (3\sin^2 t \cos t)^2}dt = 4\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 t\sqrt{9\cos^4 t \sin^2 t + 9\sin^4 t \cos^2 t }dt \\ & = 4\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 t\sqrt{9\cos^2 t \sin^2 t }dt = 12\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 t \cos t \,dt. \end{aligned} $

Do obliczenia ostatniej całki zastosujemy :

$ S = 12\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 t \cos t \,dt = \left| \begin{array}{c} u=\sin t \\ du=\cos t dt \end{array} \right|= 12\pi \int\limits_{0}^1 u^4 \, du = \frac{12 \pi}{5} u^5\Big|_0^1=\frac{12 \pi}{5}. $

Matematyka

Obliczanie pól powierzchni obrotowych

Twierdzenie 1: o polu powierzchni obrotowej powstałej przez obrót wykresu funkcji jednej zmiennej wokół osi \( OX \)

Przykład 1:

Twierdzenie 2: o polu powierzchni obrotowej powstałej przez obrót krzywej zadanej parametrycznie

Przykład 2:

Temat:
Opis:
Typ:

Email: